Le précurseur des mathématiques modernes, Louis Bachelier, a inspiré Einstein sur ses travaux à propos du mouvement Brownien, datant de 1905, soit cinq ans après la parution de sa thèse « Théorie de la spéculation, annales scientifiques de l’ENS ». Cette interaction des deux disciplines, physique et mathématiques financières, ne cessera de se vérifier par la suite. Paradoxalement, il semble que ça soit les mathématiques financières qui à l’origine inspirèrent la physique moderne. Par ailleurs, les similitudes sont frappantes lorsqu’on réalise que chacune de ces disciplines prenne en compte l’interaction d’un grand nombre d’acteurs mais que les déterminismes individuels sont oubliés au profit de phénomènes collectifs. Ainsi il y aurait une micro et une macro économie au même titre que la physique microscopique et macroscopique. D’un point de vue théorique, la démarche afin d’obtenir un résultat chiffré est la même : on modélise le mouvement d’une particule brownienne en modélisant les chocs désordonnés qu’elle subit par une seule valeur, la température. A partir de celle-ci, supposée homogène et décrivant parfaitement le milieu dans lequel évolue la particule Brownienne, on suppose pouvoir modéliser le mouvement associé à la particule. Pour la valeur d’une action, on modélise ses fluctuations passées (ordre d’achats et de vente) et on en déduit de la même façon sa valeur actuelle. Ci-dessous, les courbes décrivant les évolutions du mouvement brownien et de valeur suivant la formule de Black & Scholes.
Variations de l’indice CAC 40 par minute (à gauche) et par mois (à droite)
Marche aléatoire, modèle idéalisé, du mouvement brownien

On observe à l’œil nu, mais cette observation a été vérifiée par des analyses de Fourier, une ressemblance globale entre les deux courbes. En outre, toutes deux ont la propriété d’auto similarité, c’est-à-dire, qu’elles conservent cette allure quelque soit l’échelle des abscisses. Les hypothèses similaires des deux théories semblent donc amener à des résultats analytiques proches. C’est pour ces raisons que l’on peut parler de véritable parallèle entre la théorie du mouvement brownien et celle de la modélisation mathématiques financière. Malgré le succès e la théorie d’Einstein qui n’a pas encore été remise en cause, il semble que le modèle mathématique associé soit largement critiqué par une partie des acteurs financiers.

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Sources :

• Hubert Krivine, Le mouvement brownien, Lien
• Sam Jones, The formula that felled Wall St, April 24 2009, Lien
• Michel de Pracontal, Un krach des maths, 09/10/08, Lien