La modélisation brownienne

Le mouvement brownien…

Le mouvement brownien a été décrit pour la première fois par le botaniste Robert Brown en 1827 en observant le mouvement de particules à l’intérieur de grains de pollen. C’est donc un phénomène découvert par l’expérience et qui a une réalité physique. Une des descriptions élémentaires utilisées en physique est la suivante : la particule se déplace en ligne droite jusqu’à ce qu’elle rencontre une autre particule ou une paroi qui modifie sa direction et l’accélère.

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Mouvement de sphères (20 nm de diamètre) de latex fluorescentes dans de l’eau – Arbeitsgruppe B040 Biophysik der Makromoleküle

De façon plus rigoureuse, on peut dire que le mouvement de la particule est aléatoire et son déplacement statistiquement nul. C’est-à-dire qu’elle se déplace autour de son point de départ. Ce processus aléatoire et discontinu rend la modélisation mathématique difficile pour l’époque. C’est Louis Bachelier qui, en 1900, propose dans sa thèse Théorie de la Spéculation la première description mathématique du mouvement brownien.

Sa définition est la suivante : c’est un processus stochastique (W_t)_{t\in T} gaussien, à accroissements indépendants, stationnaires. Il reste à définir les termes employés.

Un processus stochastique W = (W_t)_{t\in T} est une suite indexée par le temps de variables aléatoires W_t. A chaque instant t, c’est la variable aléatoire W_t qui va se réaliser.

Un processus à accroissements indépendants signifie que l’accroissement W_t-W_s pour s<t est indépendant des processus précédents (W_u)_{0\leqslant u\leqslant s}.

Enfin, un processus à accroissements gaussiens stationnaires signifie que l’accroissement est une variable aléatoire normale centrée en 0 et de variance \sigma=t-s, c’est-à-dire vérifiant la loi de gauss.

L’étude du mouvement brownien est toujours d’actualité car il a de nombreuses applications en thermodynamique, en diffusion et bien évidemment en finance.

…appliqué aux marchés financiers

Pour modéliser la dynamique des cours de la bourse, on peut utiliser le mouvement brownien. Si on note S(t) le rendement d’un actif au temps t on a alors :

\frac{dS_t}{S_t} = \mu_t\partial t+\sigma(t,S_t)W_t

C’est la superposition d’une dérive \mu et d’un bruit gaussien \sigma(t,S_t)W_t. L’amplitude de ce bruit est donnée par \sigma.

fig1bis-2
Action Renault sur les premiers jours de 2002- [CNR]
fig1-7
Simulation d’une trajectoire brownienne, similarité avec l’action Renault – [CNR]

Cette modélisation a quelques impacts sur les hypothèses nécessaires que doivent vérifier les marchés. Le fait que les accroissements soient indépendants implique que l’on ne peut battre le marché, c’est-à-dire qu’on ne peut prévoir les mouvements du marché en utilisant les données passées. Le fait que les accroissements soient gaussiens stationnaire implique que l’on accepte une modélisation gaussienne de la volatilité qui est en réalité la modélisation du risque de l’actif. Si la première hypothèse est économiquement viable, c’est la deuxième qui est au cœur de la controverse car elle donne très peu d’importance aux événements rares qui sont pourtant la cause des grands krachs boursiers.